Question

13．如图，在△ABC中，AB＞AC，BC的垂直平分线DF交△ABC的外角平分线AD于点D，DE⊥AB于点E，线段AC，AE，BE之间有怎样的关系？请写出你的猜想，并加以证明．

Answer 1

分析 作DG⊥AC，连接BD、CD，易证△ADE≌△ADG，得AE=AG，只要再证明△BED≌△CGD，即可得到．

解答 解：BE-AC=AE，
理由：作DG⊥AC，连接BD、CD，
∵AD是外角∠BAG的平分线，DE⊥AB，
∴∠DAE=∠DAG，
则在△ADE与△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠DGA}\\{∠EAD=∥GAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADG（AAS），
∴AE=AG，
∵DF是BC的中垂线，
∴BD=CD，
∴在Rt△BED和Rt△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CGD（HL），
∴BE=CG=AC+AG，AG=AE，
∴BE-AC=AE．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，考查了学生综合运用知识解决问题的能力，作辅助线构建全等三角形，是解答本题的关键．