Question

3．如图，直线y=x-6与坐标轴交于点A、B，直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与坐标轴交于点C、D，点E为AB上一点，且∠AEC=∠BDC，求点E的坐标．

Answer 1

分析 延长DC交AB于F，过点E作EG⊥x轴于G，构造相似三角形△AEC∽△BDF，以及等腰直角三角形AEG，根据点F是直线y=x-6与直线y=-$\frac{1}{2}$x+2的交点，求得点F坐标，进而得到AF的长，再根据相似三角形对应边成比例，求得AE的长，最后根据等腰直角三角形的性质，求得OG与EG的长，即可得出点E的坐标．

解答 解：延长DC交AB于F，过点E作EG⊥x轴于G，
∵点F是直线y=x-6与直线y=-$\frac{1}{2}$x+2的交点，
∴解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-6}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{3}}\\{y=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
∴点F坐标为（$\frac{16}{3}$，$-\frac{2}{3}$），
又∵直线y=x-6与坐标轴交于点A、B，
∴当x=0时，y=-6，即B（0，-6）；
当y=0时，x=6，即A（6，0），
∴根据AO=BO=6，可得AB=6$\sqrt{2}$
根据点A、F的坐标，可得AF=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$，
∴BF=AB-AF=$\frac{16}{3}\sqrt{2}$
∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与坐标轴交于点C、D，
∴当x=0时，y=2，即D（0，2）；
当y=0时，x=4，即C（4，0），
∴DO=2，CO=4，
∴AC=6-4=2，BD=2+6=8，
又∵∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBF=45°，
∴△AEC∽△BDF，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{AC}{BF}$，即$\frac{AE}{9}$=$\frac{2}{\frac{16}{3}\sqrt{2}}$，
解得AE=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴等腰Rt△AEG中，AG=EG=$\frac{3}{2}$，
∴OG=AO-AG=6-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
又∵点E在第四象限内，
∴E（$\frac{9}{2}$，$-\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，综合性较强．解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形以及等腰直角三角形，运用相似三角形和等腰直角三角形的性质求得线段的长．