Question

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对于形如x²+2ax+a²这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）²的形式．但对于二次三项式x²+2ax-3a²，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x²+2ax-3a²中先加上一项a²，使它与x²+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a²，整个式子的值不变，于是有：
x²+2ax-3a²=（x²+2ax+a²）-a²-3a²=（x+a）²-（2a）²=（x+3a）（x-a）．
像这样，先添-适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a²-6a+8．
（2）若a+b=5，ab=6，求：①a²+b²；②a⁴+b⁴的值．
（3）已知x是实数，试比较x²-4x+5与-x²+4x-4的大小，说明理由．

Answer 1

解：（1）a²-6a+8，
=a²-6a+9-1，
=（a-3）²-1，
=（a-3-1）（a-3+1），
=（a-2）（a-4）；

（2）a²+b²，
=（a+b）²-2ab，
=5²-2×6，
=13；
a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²，
=13²-2×6²，
=97；

（3）∵x²-4x+5，
=x²-4x+4+1，
=（x-2）²+1≥1＞0
-x²+4x-4，
=-（x²-4x+4），
=-（x-2）²≤0
∴x²-4x+5＞-x²+4x-4．
（若用”作差法”相应给分）
分析：（1）加1再减1，可以组成完全平方式；
（2）①加2ab再减2ab可以组成完全平方式；②在①得基础上，加2a²b²再减2a²b²，可以组成完全平方式；
（3）把所给的代数式进行配方，然后比较即可．
点评：本题考查十字相乘法分解因式，三道题都是围绕配方法作答，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握，（1）实质上是十字相乘法分解因式．