Question

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，连接AD，若∠CAD=∠B，tan∠DAB=$\frac{3}{4}$，BD=2$\sqrt{5}$，则线段AC的长为$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 过点B作BE⊥AB，交AD的延长线与E，先证明∠CDA=∠CBE，进而可得∠CBE=∠EDB，则根据等角对等边可得DE=BE，然后设BE=3k，AB=4k，则有AE=5k，AD=2k，再证明△CAD∽△CBA，利用相似三角形对应边的比相等的性质求解即可．

解答 解：过点B作BE⊥AB，交AD的延长线与E，
∵∠ACB=90°，BE⊥AB，
∴∠CAD+∠CDA=90°，∠ABC+∠CBE=90°，
∵∠CAD=∠ABC，
∴∠CDA=∠CBE，
又∵∠CDA=∠EDB，
∴∠CBE=∠EDB，
∴DE=BE；
∵tan∠DAB=$\frac{3}{4}$，设BE=3k，AB=4k（k≠0），
∴AE=5k，DE=3k，AD=2k，
∵∠C=∠C，∠CAD=∠CBA，
∴△CAD∽△CBA，
∴CA：CB=CD：CA=AD：AB，即CA：（CD+$2\sqrt{5}$）=CD：AC=2k：4k=1：2，
∴AC=2CD，2AC=CD+$2\sqrt{5}$，
解得AC=$\frac{4}{3}\sqrt{5}$，
故答案为：$\frac{4}{3}\sqrt{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，解直角三角形等知识，难度适中，正确作出辅助线是解答本题的关键．