Question

已知，如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（3，0），点O为坐标原点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得OF+DF最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）将点A、C的坐标代入可得出a、c的值，继而确定抛物线解析式；
（2）作O′使O′与O关于直线AC对称，连接O'D，O'D交AC于F，过点F且平行于x的直线l与抛物线交于点P，点P为所求；
（3）设Q（m，0），且-1≤m≤3，由QE∥AC，可得△BEQ∽△BCA，利用对应边成比例可得出EH的长，由S=S_△BQC-S_△BEQ，可得S关于m的表达式，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）将点A（3，0），点C（0，3）代入抛物线解析式：

9a-6a+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 c=3

，
故抛物线解析式：y=-x²+2x+3．

（2）存在．
如图所示：

作O′使O′与O关于直线AC对称，连接O'D，O'D交AC于F，过点F且平行于x的直线l与抛物线交于点P，点P为所求．
易求O′（3，3），设直线O′D的解析式：y=k₁x+b，
则可得：

3k1+b=3 2k1+b=0

，
解得：

k1=3 b=-6

，
故直线O'D的解析式为：y=3x-6
设直线AC解析式：y=k₂x+3，
将点A（3，0）代入可得：0=3k₂+3，
解得：k₂=-1，
故直线AC的解析式为：y=-x+3，
由

y=-x+3 y=3x-6

得：

x= 9 4 y= 3 4

，即F（

9

4

，

3

4

），
∴直线l：y=

3

4

，
由

y= 3 4 y=-x2+2x+3

得：

x1=1+ 13 2 y1= 3 4

，

x2=1- 13 2 y2= 3 4

，
即P（1+

13

2

，

3

4

）或（1-

13

2

，

3

4

）．

（3）设Q（m，0），且-1≤m≤3，
作EH⊥x轴于H，

∵QE∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴

EH

OC

=

BO

BA

，
即

mEH

3

=

m+1

4

，EH=

3

4

（m+1），
∴S=S_△BQC-S_△BEQ=

1

2

（m+1）×3-

1

2

（m+1）×

3

4

（m+1）=

3

8

（m-1）²+

3

2

，
∵-1≤m≤3，
∴当m=1时，△CAE面积最大，此时Q（1，0）．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及配方法求二次函数最值，解答综合性题目，关键还是基础知识的掌握，注意数形结合思想的运用．