Question

我们知道“在三角形每一顶点处各取一个外角,它们的和就是这个三角形的外角和”.如图7-36,完成下列问题.

图7-36

(1)你能求出三角形的外角和等于多少吗?证明你的结论.

(2)如果将三角形三条边都向两边延长,并在每两条延长线上任取两点连结起来,那么在原三角形外又得到三个新三角形,如图所示,猜想∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少?

(3)请用(1)的结论证明(2)的猜想.

(4)对于(2)的证明你还有其他的方法吗?请写出来与同伴交流.

Answer 1

 (1)三角形外角和等于360°.

已知：如图△ABC，∠4，∠5，∠6是外角.

求证：∠4+∠5+∠6=360°.

证明：∵∠4是外角,∴∠2+∠3=∠4.

同理，∠1+∠3=∠5，∠2+∠1=∠6,

∴∠4+∠5+∠6=(∠2+∠3)+(∠1+∠3)+(∠2+∠1)=2(∠1+∠2+∠3).

∵∠1+∠2+∠3=180°,

∴∠4+∠5+∠6=2×180°=360°.

(2)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.

(3)∵∠4是△ABN的外角(已知),

∴∠A+∠B=∠4(三角形任一外角等于与其不相邻的两内角和).

同理，∠C+∠D=∠5，∠E+∠F=∠6,

∴∠4+∠5+∠6=(∠A+∠B)+(∠C+∠D)+(∠E+∠F).

由(1)得∠4+∠5+∠6=360°,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°(等量代换).

(4)∵∠A+∠B+∠ANB=180°,∠C+∠D+∠CHD=180°,∠E+∠F+∠EMF=180°,

∴∠A+∠B+∠ANB+∠C+∠D+∠CHD+∠E+∠F+∠EMF=180°×3=540°.

∵∠ANB=∠HNM,∠CHD=∠MHN,∠EMF=∠HMN,∠HNM+∠MHN+∠HMN=180°,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.