Question

已知，如图1，等腰直角△ABC中，AC=BC，等腰直角△CDE中，CD=DE，AD∥BC，CE与AB相交于点F，AB与CD相交于点O，连接BE．
（1）求证：F为CE中点；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE于G，连接AE交DG于点H，连接HF，请探究线段HF与BC之间的数量及位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）首先得出△AOD∽△CDF，进而得出△AOC∽△DOF，进而得出∠CFD=90，即可得出CF=EF；
（2）首先证明△EBC≌△KAC（SAS），进而得出DH∥AK，则

ED

DK

=

EH

HA

，故EH=EA，HF∥AC，H F=

1

2

AC，再利用BC=AC，得出H F=

1

2

BC，再利用平行线的性质得出HF⊥BC．

解答：（1）证明：如图1，连接DF∞
∵AD∥BC，∴∠DAO=∠ABC=45°，
又∵∠DCF=45°，∴∠DAO=∠DCF，
又∵∠AOD=∠COB，
∴△AOD∽△CDF，
∴

AO

CO

=

OD

OF

，
∴

OA

OD

=

OC

OF

，
又∵∠AOC=∠DOF，
∴△AOC∽△DOF，
∴∠CAO=∠CDF=45°
∴∠CFD=90，
又∵CD=DE，
∴CF=EF；
                               
（2）H F=

1

2

BC，HF⊥BC．
如图2，过C作CE的垂线交ED的延长线于K，连接KA，
∵∠DEC=45°，KC⊥CE，
∴∠CKE=45°，
∴KC=CE，
∵∠KCE=∠KCA+∠ACE=90°，∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠KCA=∠BCE，
在△EBC和△KAC中

BC=AC ∠BCE=∠ACK CE=KC

，
∴△EBC≌△KAC（SAS），
∴∠CKA=∠CEB
∴∠CKD=45°，即∠CEB+∠AKD=45°
又∵DG⊥BE∴∠DGE=90°
∴∠DEG+∠DGE=90°，
又∵∠DEC=45°，
∴∠EDG+∠BEC=45°，
∴∠AKD=∠GDE，
∴DH∥AK，∴

ED

DK

=

EH

HA

，
∴EH=EA，∴HF∥AC，H F=

1

2

AC
又∵BC=AC，∴H F=

1

2

BC．
延长HF交BC于点N，
∵HN∥AC，AC⊥BC，
∴∠ACB=∠HNB=90°
∴HF⊥BC．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质得出△AOC∽△DOF是解题关键．