Question

10．如图，?ABCD中，E为CD边的延长线上一点，BE交AD于F，AC交BF于点O．
（1）已知：AB=4，BC=6，DE=$\frac{1}{2}$CD：①求DF的长；②求证：BF平分∠ABC．
（2）求证：OB²=OE•OF．

Answer 1

分析 （1）①根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据相似三角形的性质即可得到结论；②由DE=$\frac{1}{2}$CD，得到DE=2，求得CE=6=BC，根据等腰三角形的判定定理得到∠E=∠CBE，根据平行线的性质得到∠E=∠ABE，于是得到结论；
（2）由AB∥CD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由AD∥BC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出OB²=OF•OE．

解答 解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{DF}{BC}$，
∵DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴$\frac{DF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴DF=2；
②∵DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴DE=2，
∴CE=6=BC，
∴∠E=∠CBE，
∵AB∥CE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠CBE，
∴BF平分∠ABC；
（2）∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COE．
∴OE：OB=OC：OA；
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB．
∴OB：OF=OC：OA．
∴OB：OF=OE：OB，即
OB²=OF•OE．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定难度，证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，得出OB²=OF•OE是解决问题的关键．