Question

5．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E．
（1）尺规作图：作出线段BC的垂直平分线DH，DH交AB于点D，交BE于点G，交BC于点H；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接CD，交BE于点F，那么BF与AC有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）求证：CE=$\frac{1}{2}$BF．

Answer 1

分析 （1）根据垂直平分线的画法即可作出图形．
（2）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；
（3）只要证明BA=BC即可解决问题．

解答 解：（1）作BC的垂直平分线MN，交AB于D，交BE于G，交BC于H．
图象如图所示．

（2）结论BF=AC．
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠CDA}\\{∠A=∠DFB}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC；

（3）证明：∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵BE⊥AC，
∴∠A=∠C=67.5°，
∴AB=CB，
∴AE=CE，
∴∵BF=AC，
∴EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，题目综合性比较强．