Question

如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCEF是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=130°，求菱形BCEF的面积．（结果保留三个有效数字）

Answer 1

（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC=2DE．
又BE=2DE，EF=BE，∴BC=BE=EF，EF∥BC，
∴四边形BCFE是菱形．

（2）解：连接BF交CE于点O．
∵在菱形BCFE中，∠BCF=130°，CE=4，
∴BF⊥CE，∠BCO=∠BCF=65°，OC=CE=2．
在Rt△BOC中，tan65°=，∴OB=2tan65°，BF=4tan65度．
∴菱形BCFE的面积=CE•BF=×4×4tan65°=8tan65°≈17.2．
分析：（1）根据菱形定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明四边形的对比平行，然后再证明邻边相等即可；
（2）根据菱形的性质中“对角线互相垂直且平分”，连接BF，通过构建的直角三角形来求出BF、CE的值，在根据菱形的面积=两对角线的积÷2，来求出菱形的面积．
点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．