Question

4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F．连接DF．求证：∠ADC=∠BDF．

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，交AD于G，根据等腰直角三角形的性质得到∠ACH=∠BCH=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，由CE⊥AD，根据等角的余角相等得到∠1=∠2，则可根据“ASA”判断△AGC≌△CFB，得到CG=BF，然后根据“SAS”证明△CGD≌△BFD，则可得到∠CDA=∠FDB

解答 解：作CH⊥AB于H，交AD于G，连接BE，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACH=∠BCH=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°
∵CE⊥AD，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，
∴∠1=∠2，
在△AGC和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AC=CB}\\{∠ACG=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CFB（ASA），
∴CG=BF，
∵AD为腰CB上的中线，
∴CD=BD，
在△CGD和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=BF}\\{∠GCD=∠B}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△CGD≌△BFD（SAS），
∴∠CDA=∠FDB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．