Question

如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O开始沿y轴的正方向运动，点B、C是一次函数y=k₁x+b与反比例函数y=

k2

x

（k₂＞0，x＞0）的图象的两个交点，且点B的坐标为（m，2），当点P的坐标为（0，2）时，PC=BC，且∠PCB=90°．
（1）试求反比例函数y=

k2

x

（k₂＞0，x＞0）和一次函数y=k₁x+b的解析式；
（2）设n=|PB-PC|，当点P运动到何处时，n的值最大？最大值是多少？

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）过C点作CE⊥x轴于E，交PB于D，通过已知表示出C（

m

2

，2+

m

2

），然后把B、C的坐标代入y=

k2

x

即可求得反比例函数的解析式和C点的坐标，最后利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）根据三角形三边的关系，当P、B、C在一条直线时，n有最大值，最大值为BC，求得直线与y轴的交点坐标即可求得P的位置，利用勾股定理求得BC，即可求得n的最大值．

解答：解：如图1，过C点作CE⊥x轴于E，交PB于D，
∵B（m，2），P（0，2），
∴PB∥x轴，
∴CE⊥PB，
∵PC=BC，且∠PCB=90°，PB=m，
∴PD=BD，
∴CD=PD=

1

2

PB=

m

2

，
∴C（

m

2

，2+

m

2

），
∵反比例函数y=

k2

x

（k₂＞0，x＞0）的图象经过B、C两点，
∴

2= k m 2+ m 2 = k m 2

，
解得

m=4 k=8

，
∴反比例函数的解析式为：y=

8

x

，B（4，2），C（2，4），
∵一次函数y=k₁x+b的图象经过B、C点，
∴

2=4k1+b 4=2k1+b

，
解得

k1=-1 b=6

，
∴一次函数的解析式为y=-x+6；

（2）当P移动到与B、C在一条直线时，|PB-PC|的值最大，最大值为BC，
∵直线BC解析式为y=-x+6，
∴与y轴的交点坐标为（0，6），
∴当P的坐标为（0，6）时，n有最大值；
∵BC=

(4-2)2+(2-4)2

=4

2

，
∴n的最大值为4

2

．

点评：本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例、一次函数的解析式以及函数的最值问题．