Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，BC=4AD．AB为⊙O的直径，OA=2，CD与⊙O相切于点E，求CD的长．

Answer 1

解：∵AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，
∴AD、BC均为⊙O的切线，
又CD与⊙O相切于点E，
∴DE=DA，CE=CB，
∴CD=AD+BC，
设AD=x，则BC=4AD=4x，CD=5x，
如图所示，作梯形的高DF，
在Rt△CDF中，DF=AB=2OA=4，CF=CB-BF=CB-AD=3x，CD=5x，
由勾股定理得：DF²+FC²=CD²，得4²+（3x）²=（5x）²，
解得：x₁=1，x₂=-1（舍去），
∴CD=5x=5．
分析：由∠A=∠B=90°，利用切线的性质得到AD与BC都与圆O相切，再由CD与圆相切，利用切线长定理得到AD=DE，CE=CB，可得出CD=DE+CE=AD+BC，设AD=x，得到BC=4AD=4x，确定出CD为5x，作出梯形的高DF，如图所示，在直角三角形CDF中，表示出三角形三边，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出CD的长．
点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，以及方程的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．