Question

已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）.

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）.问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）y=－；（2）Q（1，0）；（3）存在，P₁（，2）或P₂（，2）或P₃（，3）或P₄（，3）.

试题分析：（1）把点A和点C的坐标代入，利用待定系数法即可求出字母a和c的值，从而求出函数关系式；（2）设点Q的坐标为（m，0），根据EQ∥AC，得到△BQE∽△BAC，利用相似三角形对应高的比等于相似比，用字母m表示出BG的长，然后根据表示出△CQE面积是关于字母m的二次函数，根据二次函数的性质计算出面积的最大值；（3）根据题意，分三种情况，先画出图形，然后根据等腰三角形的性质解答.
试题解析：（1）由题意得，
解得
∴所求抛物线得解析式为：y=－.
（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥X轴与点G
由－=0，得=－2，.
∴点B的坐标为（－2，0）.
∴AB=6，BQ= m＋2.
又∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴.
即.
∴EG= .
∴
=
=
= 
=.
又∵－2≤m≤4，
∴当m=1时，有最大值为3，此时Q（1，0）.

（3）存在.在△ODF中
①若DO=DF时，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2.
又在RT△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°.
∴∠DFA=∠OAC=45°.
∴∠ADF=90°.
此时点F的坐标为(2，2).
由得x₁＝，x₂＝.
此时点P的坐标为:P（，2）或P（，2）.

②若OF＝DF时，过点F作FM⊥x轴与点M，
由等腰三角形的性质得:OM＝OD＝1.
∴F（1，3）.
由由得x₁＝，x₂＝.
此时点P的坐标为:P（，3）或P（，3）.

③若OD＝OF，
∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，
∴AC＝.
∴点O到AC的距离为.
而OF＝OD＝2＜，与OF≥矛盾，
∴AC上不存在点使得OF＝OD＝2.
此时不存在这样直线L，使得△ODF是等腰三角形.
综上所述，存在这样的直线L，使得△ODF是等腰三角形.
所求点P的坐标为:
P₁（，2）或P₂（，2）或P₃（，3）或P₄（，3）.