Question

14．如图1，直角△OAB（其中O为直角顶点，∠OAB=30°）的直角边OA与线段OP重合在同一根射线OM上，它们绕着点O同时进行转动，△OAB沿着逆时针方向，线段OP沿着顺时针方向，已知OA，OP分别与OM的夹角关于时间t的变化图象如图2所示，则t=$\frac{3}{7}$或3或$\frac{57}{7}$（单位：秒）时，有AB∥OP．

Answer 1

分析 先由图2中的信息得出OP的旋转速度和旋转情况，△OAB的旋转速度和旋转情况，分三种情况计算．

解答 当0＜t≤3时，Ⅰ、如图1，

此时，△OAB和OP同时旋转，旋转到如图1的位置时，BA∥OP，
∴∠AOP=∠A=30°，
∴60°t+10°t=30°，
∴t=$\frac{3}{7}$；
Ⅱ、如图2，

△OAB和OP同时旋转到如图2的位置时，AB∥OP，
∴∠BOP=∠B=90°-∠A=60°，
∴△OAB和OP同时旋转了360°-∠BOP-∠AOB=360°-60°-90°=210°，
∴60°t+10°t=210°，
∴t=3，
当3＜t＜6时，此时OP不动，△OAB按原速度，原方向旋转，不存在AB∥OP的情况，
当6≤t≤9时，如图3，

此时，△OAB按原速度原方向旋转，OP也按原速度原方向旋转，旋转到如图3的位置时，BA∥OP，
∴∠AOP=30°，OP旋转了60°（t-3），△OAB旋转了10°t，
∴60°（t-3）+10°t=360°+∠AOP=390°，
∴t=$\frac{57}{7}$．
故答案为$\frac{3}{7}$或3或$\frac{57}{7}$．

点评 此题主要考查了三角形和线段的旋转，旋转的旋转，平行线的性质，解本题的关键是从图2中找到信息求出它们的旋转速度．