Question

9．如图所示，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，且CD∥AB，连接AC，AD，OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E．
（1）求证：DA平分∠CDO；
（2）若AB=12，求图中阴影部分图形的周长（结果精确到1，参考数据：π=3.1，$\sqrt{2}$=1.4，$\sqrt{3}$=1.7）．

Answer 1

分析 （1）要求DA平分∠CDO，只要求得∠CDA=∠ADO成立即可，根据题目中的条件，可以得到∠CDA=∠ADO，从而可以解答本题；
（2）图中阴影部分图形的周长是BE+DE+$\widehat{BD}$的长，根据（1）中的结论和题目中的条件，可以求得BE+DE+$\widehat{BD}$的长，从而可以解答本题．

解答 证明：（1）∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠CDA=∠ADO，
∴DA平分∠CDO；

（2）∵AC=CD，
∴∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
又∵AC=CD，CD∥AB，
∴四边形AODC是菱形，
∴OA=AC，
连接OC，∵AB=12，
∴OA=AC=OC=6，
∴∠CAO=60°，
作CF⊥AB于点F，
∴CF=AC•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，AF=AC•cos60°=3，
∵EB⊥AB，CD∥AB，
则BE=CF=3$\sqrt{3}$，DE=AB-AF-CD=12-3-6=3，
∵∠CAO=60°，AC∥DO，
∴∠CAO=∠DOB=60°，
∴$\widehat{BD}=\frac{60×π×6}{180}=2π$，
∴图中阴影部分图形的周长是：$\widehat{BE}+BE+DE$=2π+3$\sqrt{3}$+3=2×3.1+3×1.7+3≈14．

点评 本题考查切线的性质、弧长的计算，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分析法可以证明题目中的结论，熟练掌握弧长计算公式，．