Question

如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC．

Answer 1

分析：过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A₁，B₁，C₁（如图），即可判定△A1B1C1为正三角形，
设P到△A₁B₁C₁三边B₁C₁，C₁A₁，A₁B₁的距离分别为ha，hb，hc，且△A₁B₁C₁的边长为a，高为h，则可以证明以h=h_a+h_b+h_c，根据PA+PB+PC＞P到△A1B1C1三边距离之和，即可解题．

解答：证明：过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A₁，B₁，C₁（如图），考虑四边形AOBC₁．

因为∠OAC₁=∠OBC₁=90°，∠AOB=120°，
所以∠C₁=60°．同理，∠A₁=∠B₁=60°．
所以△A₁B₁C₁为正三角形．
设P到△A₁B₁C₁三边B₁C₁，C₁A₁，A₁B₁的距离分别为ha，hb，hc，且△A₁B₁C₁的边长为a，高为h．
由等式S_△A1B1C1=S_△PB1C1+S_△PC1A1+S_△PA1B1
知

1

2

h•a=

1

2

h_a•a+

1

2

h_b•a+

1

2

h_c•a，
所以h=h_a+h_b+h_c．
这说明正△A₁B₁C₁内任一点P到三边的距离和等于△A₁B₁C₁的高h，这是一个定值，所以OA+OB+OC=h=定值．
显然，PA+PB+PC＞P到△A1B1C1三边距离和，
所以PA+PB+PC＞h=OA+OB+OC．

点评：本题考查了等边三角形的证明，考查了正三角形内任一点P到三边的距离和等于该等边三角形的高h，本题中求证正三角形内任一点P到三边的距离和等于该等边三角形的高h是解题的关键．