Question

已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2．
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；
（2）如图2，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点G作GM⊥BC于M，可以证明△MFG≌△BEF，就可以求出GM的长，进而就可以求出FC，求出面积．
（2）证明△AHE≌△MFG．得到GM的长，根据三角形的面积公式就可以求出面积．
（3）△GFC的面积不能等于2，根据面积就可以求出a的值，在△BEF中根据勾股定理就可以得到EF，进而在直角△AHE中求出AH．

解答：解：（1）如图1，过点G作GM⊥BC于M．
在正方形EFGH中，∠HEF=90°，EH=EF，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AHE≌△BEF，
同理可证：△MFG≌△BEF，
∴GM=BF=AE=2，
∴FC=BC-BF=10，
则S_△GFC=10，


（2）如图2，过点G作GM⊥BC于M．
连接HF．
∵AD∥BC，∴∠AHF=∠MFH，
∵EH∥FG，∴∠EHF=∠GFH，
∴∠AHE=∠MFG．
又∵∠A=∠GMF=90°，EH=GF，
∴△AHE≌△MFG．
∴GM=AE=2．
∴S△GFC=

1

2

FC•GM=

1

2

（12-a）×2=（12-a）

（3）△GFC的面积不能等于2．
∵若S_△GFC=2，则12-a=2，
∴a=10．
此时，在△BEF中，EF=

BE2+BF2

=

(10-2)2+102

=

164

，
在△AHE中，AH=

EH2-AE2

=

EF2-AE2

=

164-22

=

160

＞12，
∴AH＞AD，
即点H已经不在边AD上．
故不可能有S_△GFC=2；
解法二：△GFC的面积不能等于2，
∵点H在AD上，
∴菱形边长EH的最大值为2

37

，
∴BF的最大值为2

21

，
又因为函数S_△GFC=12-a的值随着a的增大而减小，
所以S_△GFC的最小值为12-2

21

．
又∵12-2

21

＞2，
∴△GFC的面积不能等于2．

点评：解决本题的关键是证明三角形全等．