Question

已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．
（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=

1

2

CF．（不需证明）
（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,梯形中位线定理

专题：证明题

分析：（1）利用垂直于同一直线的两条直线平行得出ME∥CF，进而利用中位线的性质得出即可；
（2）根据题意得出图2的结论为：ME=

1

2

（BD+CF），图3的结论为：ME=

1

2

（CF-BD），进而利用△DBM≌△KCM（ASA），即可得出DB=CK，DM=MK即可得出答案．

解答：解：（1）如图1，
∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，
∴ME∥CF，
∵M为BC的中点，
∴E为BF中点，
∴ME是△BFC的中位线，
∴EM=

1

2

CF．

（2）图2的结论为：ME=

1

2

（BD+CF），
图3的结论为：ME=

1

2

（CF-BD）．
图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠DBM=∠KCM
在△DBM和△KCM中

∠DBM=∠KCM BM=CM ∠BMD=∠KMC

，
∴△DBM≌△KCM（ASA），
∴DB=CK，DM=MK
由题意知：EM=

1

2

FK，
∴ME=

1

2

（CF+CK）=

1

2

（CF+DB）    
图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠MBD=∠KCM
在△DBM和△KCM中

∠DBM=∠KCM BM=CM ∠BMD=∠KMC

，
∴△DBM≌△KCM（ASA）
∴DB=CK，DM=MK，
由题意知：EM=

1

2

FK，
∴ME=

1

2

（CF-CK）=

1

2

（CF-DB）．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△DBM≌△KCM（ASA）是解题关键．