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    如图，在平行四边形中，过点作，垂足为点，连接，为线段上一点，且．

    (1)求证：∽；
    (2)若，，，求的长．

    (1)证明见解析；

    解析试题分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
    （2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AF的长．
    试题解析：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
    ∴，，
    ∴，．
    ∵，
    ∴
    ∴∽
    （2）解：∵四边形是平行四边形，
    ∴
    由（1）知∽，
    ∴，
    ∴
    在中，由勾股定理得：
    ．
    考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：
     
    说明：方案一：图形中的圆过点A、B、C；
    方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点.
    纸片利用率=×100%
    发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．
    你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
    （2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．
    请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
    探究：
    （3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    把两个直角三角形如图(1)放置,使∠ACB与∠DCE重合,AB与DE相交于点O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE="5cm," CD=10cm．
    （1）图1中线段AO的长=          cm；DO=         cm

    图1
    （2）如图2,把△DCE绕着点C逆时针旋转α度（0°＜α＜90°）得△D1CE1,D1C与AB相交于点F,若△BCE1恰好是以BC为底边的等腰三角形,求线段AF的长．
     
    图2

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图,等腰中,,D是BC上一点,且.

    （1）求证：∽；
    （2）若,,求BC的长；
    （3）若,求的值.

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，E为DC的中点，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F．

    （1）求证：△BEC∽△ABF；
    （2）求AF的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF=4∶25，求DE∶EC的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    阅读材料

    如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题：
    （1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
    （2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
    （3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，且，，求AB的值.

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足 ∠MAN=45°，连结MC，NC，MN．

    （1）填空：与△ABM相似的三角形是△       ，BM·DN=        ；（用含a的代数式表示）
    （2）求∠MCN的度数；
    （3）猜想线段BM，DN和MN之间的数量关系并证明你的结论．

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