Question

如图，在锐角△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点，P、Q、R分别是△ADF、△BDE、△CEF的三条中线的交点．
（1）求△DEF与△ABC的面积比；
（2）求△PDF与△ADF的面积比；
（3）求多边形PDQERF与△ABC的面积比．

Answer 1

解：（1）如图，过点D作DG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H，则DG∥AH，
所以△BDG∽△BAH，又，BE=BC，
所以DG=AH，S_△BDE=S_△ABC，
同理S_△ADF=S_△CEF=S_△ABC
所以S_△DEF=S_△ABC-S_△ADF-S_△CEF=S_△ABC．


（2）分别延长DP，FP交AF，AD于M，N，因为点P是△ADF的三条中线的交点，
所以M，N分别是AF，AD的中点，且DP=DM，
过点P，M分别作DF的垂线，垂足分别为K，S，则△DKP∽△DSM，相似比为2：3，所以KP=SM，
S_△PDF=S_△MDF，
又S_△MDF=S_△ADF，得
S_△PDF=S_△ADF．
（3）由（2）知，
S_△QDE=S_△BDE，S_△REF=S_△CEF，
所以S_△PDF=S_△QDE=S_△REF=S_△ABC．
所以S_PDQERF=S_△DEF+S_△PDF+S_△QDE+S_△REF=S_△ABC．
分析：（1）分别过A，D两点作BC的垂线，得到△BDE和△ABC的面积关系，用同样的方法可以得到△ADF，△CEF与△ABC的面积的关系，然后求出△DEF与△ABC面积的比．（2）点P是△ADF的重心，延长DP，FP，根据三角形重心的性质计算可以求出△PDF和△ADF的面积的比．（3）根据（1）（2）两题的结论，得到△DQE和△EFR与△BDE和△CEF的面积关系，求出多边形与三角形的面积的比．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）过D，A两点作BC的垂线，得到两相似三角形，利用相似三角形的性质，求出两三角形的面积的比．（2）根据重心的性质可以求出两三角形的面积的比．（3）利用（1）（2）的结论可以求出多边形与三角形面积的比．