Question

1．已知正方形ABCD中，AC、BD交于点O，$\frac{OE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，连AE，将△ADE沿AD翻折，得△ADE′，点F是AE的中点，连CF、DF、E′F．若DE=2$\sqrt{2}$，则四边形CDE′F的面积是17．

Answer 1

分析 先连接EC、EE′，设EE′交AD于N，根据正方形的性质以及折叠的性质，求出NE、ND的长，以及正方形ABCD的对角线长和边长，再根据CF是△ACE的中线，求出△ACF的面积，根据E′F是△AE′E的中线，求出△AE′F的面积，最后根据四边形CDE′F的面积=S_{梯形ACDE′}-S_△ACF-S_△AE′F进行计算，即可解决问题．

解答 解：连接EE′，交AD于N，连接CE，
在正方形ABCD中，∠EDN=45°，
由折叠得，AD垂直平分EE′，且∠EDN=∠E′DN=45°，DE=DE′，
∴△DEE′、△DEN、△DE′N均为等腰直角三角形，
∵DE=2$\sqrt{2}$，$\frac{OE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\sqrt{2}$，DN=EN=E′N=2，DO=3$\sqrt{2}$，DE′=2$\sqrt{2}$，
∴AC=6$\sqrt{2}$，AD=6，
∵EO⊥AC，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=6，
又∵点F是AE的中点，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$×S_△ACE=3，
∵AN⊥EE′，AN=AD-DN=6-2=4，
∴S_△AE′E=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
又∵点F是AE的中点，
∴S_△AE′F=$\frac{1}{2}$×S_△AE′E=4，
∵∠E′DO=∠AOD=90°，
∴DE′∥AC，
∴S_{梯形ACDE′}=$\frac{（DE′+AC）×DO}{2}$=$\frac{（2\sqrt{2}+6\sqrt{2}）×3\sqrt{2}}{2}$=24，
∴四边形CDE′F的面积=S_{梯形ACDE′}-S_△ACF-S_△AE′F=24-3-4=17．
故答案为：17

点评 本题以折叠问题为背景，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及中线的性质的综合运用，难度较大．折叠是一种轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边相等，对应角相等．解题的关键是添加辅助线，运用割补法求四边形的面积．