Question

如图，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP=DQ．

Answer 1

证明：如图，取OB中点M，OC中点N，连接MD，MQ，DN，PN．
∵D为BC的中点
∴DM∥OC，DM=OC，DN∥OB，DN=OB．
∵在Rt△BOQ和Rt△OCP中，QM=OB，PN=OC．
∴DM=PN，QM=DN．∠QMD=∠QMO+∠OMD=2∠ABO+∠FOB，
∠PND=∠PNO+∠OND=2∠ACO+∠EOC．
∵∠ABO=∠ACO，∠FOB=∠EOC，
∴∠QMD=∠PND．
∴△QMD≌△DNP，
∴DQ=DP．
分析：取OB中点M，OC中点N，根据三角形中位线定理可得到DM∥OC，DM=OC，DN∥OB，DN=OB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得到QM=OB，PN=OC，再根据三角形外角的性质即可推出∠QMD=∠PND，从而利用SAS判定△QMD≌△DNP，根据全等三角形的对应的边相等即可证得结论．
点评：此题主要考查学生对三角形中位线定理及全等三角形的判定与性质的综合运用能力．