Question

18．如图，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．
（1）如图①，在点D从点B开始移动至点C的过程中，
①△ADE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，直接写出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点E移动的路径长．
（2）如图②，当点D经过点C，并在继续移动的过程中，点E能否移动至直线AB上？为什么？

Answer 1

分析 （1）①当AD=AB时，△ADE的面积最大，得出此时面积的值即可；当AD为△ABC的高时，△ADE的面积最小，得出此时面积的值即可；
②连接CE，得出点E的移动距离为CE，利用全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）连接CE，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出点E不能移动至直线AB上．

解答 解：（1）①当AD=AB时，△ADE的面积最大，面积为$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$cm²；
当AD为△ABC的高时，△ADE的面积最小，面积为：$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}c{m}^{2}$；
②如图①，连接CE，

∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B=60°，
∴CE∥AB，即点E在经过点C且与AB平行的直线上移动，
当点D从点B出发时，此时点E与点C重合，
∴点E移动的起点为点C，
当点D到点C停止移动时，此时有AD=AC，
∴在△ACE中，有AC=AE，∠ACE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=4cm，即点E移动的路径长为4cm；
（2）点E不能移动至直线AB上，
如图②，连接CE，

∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B=60°，
∴CE∥AB，即点E在经过点C且与AB平行的直线上移动，
∴点E不能移动至直线AB上．

点评 此题考查几何变换问题，关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行分析．