Question

7．已知△ABC中，∠ABC=90°，点M为BC上一点，点E、N在AC上，且EB=EM，NM=NC，

（1）求证：∠EMN=∠BEC；
（2）探究：AE、EN、CN之间的数量关系，并给出证明；
（3）如图2，过点B作BH∥EM交NM的延长线于H，当$\frac{CM}{BM}$=n时，求$\frac{HM}{MN}$的值．

Answer 1

分析 （1））由EB=EM，NM=NC，可得∠EBM=∠EMB，∠NMC=∠NCM，由∠EMB+∠NCM+∠EMN=180°，∠EBM+∠NCM+∠BEC=180°，即可得出∠EMN=∠BEC；
（2）作DE⊥BC，NF⊥BC分别交BC于D，F，作GM⊥BC，交AC于点G，由等腰三角形的性质可得BD=MD，由DE为梯形ABMG的中位线，可得AE=EG，同理可得CN=NG，即可得出EN=AE+CN；
（3）作GM⊥BC，交AC于点G，作NF∥EM，由GM∥AB，可得$\frac{CG}{AG}$=$\frac{CM}{BM}$=n，由AE=EG，CN=NG，可得$\frac{NG}{EG}$=n，即NG=CN=nEG，由NF∥EM，可得$\frac{CF}{MC}$=$\frac{CN}{CE}$，即$\frac{CF}{MC}$=$\frac{nEG}{（2n+1）EG}$，由CF=$\frac{n}{2n+1}$MC，可得MF=$\frac{n+1}{2n+1}$MC，再由$\frac{HM}{MN}$=$\frac{BM}{MF}$，$\frac{CM}{BM}$=n，即可得出$\frac{HM}{MN}$的值．

解答 解：（1）∵EB=EM，NM=NC，
∴∠EBM=∠EMB，∠NMC=∠NCM，
∴∠EMB+∠NCM+∠EMN=180°，
∵∠EBM+∠NCM+∠BEC=180°，
∴∠EMN=∠BEC；
（2）如图1，作DE⊥BC，NF⊥BC分别交BC于D，F，作GM⊥BC，交AC于点G，

∵EB=EM，∠ABC=90°，
∴BD=MD，
∴DE为梯形ABMG的中位线，
∴AE=EG，
同理可得CN=NG，
∴EG+GN=AE+CN，即EN=AE+CN；
（3）如图2，作GM⊥BC，交AC于点G，作NF∥EM，

∵GM∥AB，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{CM}{BM}$=n，
∵AE=EG，CN=NG，
∴$\frac{NG}{EG}$=n，即NG=CN=nEG，
∵NF∥EM，
∴$\frac{CF}{MC}$=$\frac{CN}{CE}$，即$\frac{CF}{MC}$=$\frac{nEG}{（2n+1）EG}$，
∴CF=$\frac{n}{2n+1}$MC，
∴MF=MC-$\frac{n}{2n+1}$MC=$\frac{n+1}{2n+1}$MC，
∵BH∥EM，NF∥EM，
∴BH∥NF，
∴$\frac{HM}{MN}$=$\frac{BM}{MF}$，
∵$\frac{CM}{BM}$=n，即BM=$\frac{1}{n}$CM，
∴$\frac{HM}{MN}$=$\frac{\frac{1}{n}CM}{\frac{n+1}{2n+1}CM}$=$\frac{2n+1}{n（n+1）}$．

点评 本题主要考查了相似形的综合题，涉及相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，梯形中位线等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造相似三角形．