Question

15．在直角坐标系中A点坐标为（4，0），C点坐标为（1，3）
（1）若四边形OABC为平行四边形请直接写出B点的坐标．
（2）若函数y=$\frac{k}{x}$的图象过AB中点E并与BC交于点F，请求出k的值；
（3）求出五边形OAEFC的面积．

Answer 1

分析 （1）作CM⊥x轴，BN⊥x轴分别于点M和N，则△OCM≌△ABN，则OM=AN，据此即可求得B的坐标；
（2）根据E是AB的中点，即可求得E的坐标，然后把E代入反比例函数解析式，即可求得k；
（3）作FG⊥x轴，EH⊥x轴分别于点G和H，根据S_{五边形OAEFC}=S_梯形OGFC+S_梯形FGHE-S_△AHE即可求解．

解答 解：（1）作CM⊥x轴，BN⊥x轴分别于点M和N．则△OCM≌△ABN，则OM=AN=1，ON=4+1=5．
则B的坐标是（5，3）；
（2）∵E是AB的中点，
∴E的坐标是（$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
把E的坐标代入y=$\frac{k}{x}$得：k=$\frac{9}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{27}{4}$；
（3）反比例函数的解析式是：y=$\frac{27}{4x}$，
令y=3，则3=$\frac{27}{4x}$，解得：x=$\frac{9}{4}$，
则F的坐标是（$\frac{9}{4}$，3）．
作FG⊥x轴，EH⊥x轴分别于点G和H．
则G的坐标是（$\frac{9}{4}$，0），H的坐标是（$\frac{9}{2}$，0），
S_梯形OGFC=$\frac{1}{2}$（CF+OG）•FG=$\frac{1}{2}$×（$\frac{5}{4}$+$\frac{9}{4}$）×3=$\frac{39}{8}$，
S_梯形FGHE=$\frac{1}{2}$（GF+EH）•GH=$\frac{1}{2}$×（3+$\frac{3}{2}$）×$\frac{9}{4}$=$\frac{81}{16}$，
S_△AHE=$\frac{1}{2}$AH•EH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{8}$，
则S_{五边形OAEFC}=S_梯形OGFC+S_梯形FGHE-S_△AHE=$\frac{39}{8}$+$\frac{81}{16}$-$\frac{3}{8}$=$\frac{153}{16}$．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及图形面积的计算，正确作出辅助线，连接S_{五边形OAEFC}=S_梯形OGFC+S_梯形FGHE-S_△AHE是关键．