Question

19．已知抛物线与x轴的两个交点间距离是4，开口向下，顶点A（m，4）在第一象限，且抛物线过点（1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的正半轴交于点B，连接AB，点C是抛物线上一动点，连接OC、AC和BC，若△OBC与△ABC面积相等，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-m）²+4，然后根据条件求出a、m的值；
（2）设C（x，y），根据△OBC与△ABC面积相等列出方程即可求出C的坐标．

解答 解：（1）抛物线的解析式为y=a（x-m）²+4，
∴y=ax²-2amx+am²+4，
设抛物线与x轴的两个交点为x₁，x₂，
由题意可知：|x₁-x₂|=4，x₁+x₂=2m，x₁x₂=m²+$\frac{4}{a}$，
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，
∴16=4m²-4（m²+$\frac{4}{a}$）
∴16=-$\frac{16}{a}$，
∴a=-1，
∴y=-x²+2mx-m²+4，
∵抛物线过点（1，3），
∴3=-1+2m-m²+4，
解得：m=0或m=2，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x．
（2）设点C的坐标为（x，y），
过点C作CD⊥y轴交直线AB于点D，作CF⊥x轴于点F，
过点A作AE⊥y轴于点E，
易求得：B（4，0），E（0，4）
∴CF=|y|，OB=4，OE=4，
易知：S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•CF=2|y|，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
将A（2，4）和B（4，0）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-2x+8，
∴D（$\frac{8-y}{2}$，y），
∴CD=|$\frac{8-y}{2}$-x|，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$OE•CD=2×|$\frac{8-y}{2}$-x|，
由题意可知：2|y|=2×|$\frac{8-y}{2}$-x|，
化简可得：±y=$\frac{8-y}{2}$-x，
当y=$\frac{8-y}{2}-x$时，
∵y=-x²+4x，
∴两式联立可得：3x²-14x+8=0
解得：x=$\frac{2}{3}$或x=4（舍去），
∴C（$\frac{2}{3}$，$\frac{20}{3}$），
当-y=$\frac{8-y}{2}-x$时
∵y=-x²+4x，
∴两式联立可得：x²-2x-8=0，
∴x=-2或x=4（舍去），
∴C（-2，-12）
综上所述，C（$\frac{2}{3}$，$\frac{20}{3}$）或（-2，-12）

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，三角形面积公式，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．