Question

4．已知二次函数y=ax²+2ax+a-1（a＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；
（2）求该抛物线的顶点坐标；
（3）结合函数图象回答：当x≥1时，其对应的函数值y的最小值范围是2≤y≤6，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）只要证明△＞0即可解决问题；
（2）利用顶点坐标公式计算即可；
（3）求出抛物线经过（1，2）和（1，6）时的a的值即可解决问题；

解答 （1）证明：∵△=（2a）²-4a（a-1）=4a，
∴a＞0，
∴4a＞0，
∴△＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点；
（2）∵-$\frac{2a}{2a}$=-1，$\frac{4a（a-1）-（2a）^{2}}{4a}$=-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）；
（3）二次函数y=ax²+2ax+a-1经过（1，2）时，2=3a+a-1，解得a=$\frac{3}{4}$，
二次函数y=ax²+2ax+a-1经过（1，6）时，6=3a+a-1，解得a=$\frac{7}{4}$，
∴观察图象可知，函数值y的最小值范围是2≤y≤6，a的取值范围为$\frac{3}{4}$≤a≤$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查二次函数由x轴的交点、二次函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．