Question

2．如图，矩形ACBE中，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，当AD=$\frac{11}{5}$时，∠BDC=2∠BAE．

Answer 1

分析 由矩形ACBE中，AC=6，BC=8，可求得AB的长，然后过点D作DF平分∠BDC交BC于F，过F作FG⊥AB于G，易得Rt△BFG∽Rt△BAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得CD的长，又由△CDF∽△CBD，求得答案．

解答 解：∵矩形ACBE中，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
过点D作DF平分∠BDC交BC于F，过F作FG⊥AB于G，
∵∠BDC=2∠BAE=∠ABF，
∴∠FDB=∠FBD，
∴FD=FB，
∵∠BGF=∠ACB=90°，∠FBG=∠ABC，
∴Rt△BFG∽Rt△BAC，
∴FG：BG：BF=AC：BC：AB=3：4：5，
设FG=3x，则BG=4x，BF=5x，
∴DG=BG=4x，DF=BF=5x，
∴BD=2BG=8x，
∵∠CDF=$\frac{1}{2}$∠BDC=∠CBD，∠DCB为公共角，
∴△CDF∽△CBD，
∴CD：BC=DF：BD=5：8，
∴CD=$\frac{5}{8}$BC=5，
∵CD：CF=CB：CD，
∴CD²=CF•BC，
∴CF=$\frac{C{D}^{2}}{BC}$=$\frac{25}{8}$，
∴BF=8-$\frac{25}{8}$=$\frac{39}{8}$，
解得：x=$\frac{39}{40}$，
∴BD=8x=$\frac{39}{5}$．
∴AD=10-BD=$\frac{11}{5}$．
故答案为：$\frac{11}{5}$．

点评 此题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．