Question

如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．
（1）直接填空∠ACB=______；
（2）求证：OE∥AC；
（3）若BE=4，AC=6，求DE．

Answer 1

（1）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
故答案为：90°；

（2）证明：∵OD⊥BC，
∴∠OEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEB=∠ACB，
∴OE∥AC；

（3）解：∵OD⊥BC，OD是⊙O半径，BE=4，
∴BC=2BE=8，
在Rt△BCA中，∠C=90°，BC=8，AC=6，由勾股定理得：AB=10，
即OB=OD=5，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：OB²=OE²+BE²，
即5²=（5-DE）²+4²，
解得：DE=2．
分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角得出即可；
（2）根据垂直得出∠OEB=∠ACB=90°，根据平行线的判定推出即可；
（3）根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出AB，得出OD和OB，在△OBE中，根据勾股定理即可求出DE．
点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，平行线的判定等知识点，能正确运用这些定理进行推理是解此题的关键．