Question

19．已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=m²
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）先把方程（x-3）（x-2）=m²，变形为x²-5x+6-m²=0，得出△=25-4（6-m²）=1+4m²＞0，即可得出答案；
（2）把1代入原方程，得出m，再把原方程变形为x²-6x+4=0，设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系求出方程的另一个根即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=m²，
∴x²-5x+6-m²=0，
∴△=25-4（6-m²）=1+4m²＞0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是1，
则（1-3）×（1-2）=m²，
2=m²，
m=±$\sqrt{2}$，
原方程变形为x²-5x+4=0，
设方程的另一个根为a，
则1×a=4，
a=4，
则方程的另一个根为4．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac和一元二次方程的根与系数的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．