Question

已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
①小明同学说：无论k取何实数，方程总有实数根，你认为他说的有道理吗？
②若等腰三角形的一边a=1，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长和面积．

Answer 1

分析：（1）计算方程的根的判别式即可说明其根的情况；
（2）已知a=1，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．

解答：解：（1）∵△=（k+2）²-4×1×2k=k²+4k+4-8k=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴方程无论k取何值，总有实数根，
∴小明同学的说法合理；
（2）①当b=c时，则△=0，
即（k-2）²=0，
∴k=2，
方程可化为x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴C_△ABC=5，S_△ABC=

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；

②当b=a=1，
∵x²-（k+2）x+2k=0．
∴（x-2）（x-k）=0，
∴x=2或x=k，
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，
∴k=1，
∴c=2，
∵a+b=c，
∴不满足三角形三边的关系，舍去；
综上所述，△ABC的周长为5．

点评：本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．