Question

【题目】如图，正方形中，点是线段的中点，连接，点是线段上的动点，连接并延长交于点，连接并延长交或于点，

（1）如图①，当点与点重合时，等于多少；

（2）如图②，当点F是线段AB的中点时，求的值；

（3）如图③，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）．

【解析】

（1）先证明△ADP≌△CDP，得到∠DAP=∠DCP，再证明△ADE≌△CDO，得到DE=DO，根据O是AD的中点，AD=CD，即可得到答案；
（2）先证明△AFD≌△DOC，得到∠AFD=∠DOC，进而得到∠OPD=90°，即可得到△OPD∽△FAD，根据对应边成比例得到,设AF=OD=x，则AD=2x，DF=，得到DP=，求出PF=，再证明△DEP∽△FAP，得到，根据AF=，即可得到答案；
（3）先证明△FCD≌△EDA，得到∠EAD=∠FDC，进而得到∠EPD=∠APD=90°，根据直角三角形的性质可得OP=OD=，设OD=OP=x，则CD=2x，OC=，可得PC=OC-OP=，根据△DPO∽△FPC，得到，进而得到，即可得到结论.

（1）如图①中，

∵四边形是正方形，

，

，，

≌，

，

，，

≌，

，

，

，

．

（2）如图②中，连接．设．

，，，

，

，，

≌，

，

，

，

，

，

A，F，P，O四点共圆，

，

，

，，

，

，

，

．

（3）如图③中，连接EF．设，．

，，，

≌ ，

，

，

，

，

，

，

，

，

E，C，F，P四点共圆，

，

，

，

∽，

，

，

，

或（舍弃），

，

．