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如图,已知⊙O的半径为6cm,射线PM经过点O,OP=10cm,射线PN与⊙O相切于点Q.A,B两点同时从点精英家教网P出发,点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动,点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为ts.
(1)求PQ的长;
(2)当t为何值时,直线AB与⊙O相切?
分析:(1)PN与⊙O相切于点Q,OQ⊥PN,即∠OQP=90°,在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值;
(2)过点O作OC⊥AB,垂足为C.直线AB与⊙O相切,则△PAB∽△POQ,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出t的值.
解答:精英家教网解:(1)连接OQ,
∵PN与⊙O相切于点Q,
∴OQ⊥PN,
即∠OQP=90°,(2分)
∵OP=10,OQ=6,
∴PQ=
102-62
=8(cm).(3分)

(2)过点O作OC⊥AB,垂足为C,
∵点A的运动速度为5cm/s,点B的运动速度为4cm/s,运动时间为ts,
∴PA=5t,PB=4t,
∵PO=10,PQ=8,
PA
PO
=
PB
PQ

∵∠P=∠P,
∴△PAB∽△POQ,
∴∠PBA=∠PQO=90°,(4分)
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°,
∴四边形OCBQ为矩形.
∴BQ=OC.
∵⊙O的半径为6,
∴BQ=OC=6时,直线AB与⊙O相切.
①当AB运动到如图1所示的位置,精英家教网
BQ=PQ-PB=8-4t,
∵BQ=6,
∴8-4t=6,
∴t=0.5(s).(6分)
②当AB运动到如图2所示的位置,
BQ=PB-PQ=4t-8,
∵BQ=6,
∴4t-8=6,
∴t=3.5(s).
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切.(8分)
点评:本题主要考查了圆的切线的性质,切线垂直于过切点的半径.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
练习册系列答案
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13
.则OM=
 

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A、
2
14
3
B、
28
9
C、
2
7
3
D、
80
9

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