Question

设x²-px+q=0的两实根为α，β，而以α²，β²为根的一元二次方程仍是x²-px+q=0，则数对（p，q）的个数是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、0

Answer 1

分析：利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．

解答：解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；
α²+β²=p③，α²β²=q④．
由②④可得α²β²-αβ=0，
解之得αβ=1或0
由①③可得α²+β²=（α+β）²-2αβ=p²-2q=p，
即p²-p-2q=0，
当q=0时，p²-p=0，
解之得，p=0或p=1，
即

p1=0 q1=0

，

p2=1 q2=0

，
把它们代入原方程的△中可知符合题意．
当q=1时，p²-p-2=0，
解之得，p=-1或2，
即

p3=2 q3=1

，

p4=-1 q4=1

，
把它们代入原方程的△中可知

p4=-1 q4=1

不合题意舍去，
所以数对（p，q）的个数是3对．
故本题选B．

点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．