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【题目】如图,已知C是AB的中点,D是AC的中点,E是BC的中点.

(1)若AB=16cm,求DE的长;
(2)若CE=4cm,求DB的长.

【答案】
(1)解:∵C是AB的中点,∴AC=BC= AB=8(cm).
∵D是AC的中点,∴AD=DC= AC=4(cm).
∵E是BC的中点,∴CE=BE= BC=4(cm).
又∵DE=DC+CE, ∴DE=4+4=8(cm)
(2)解:由(1)知AD=DC=CE=BE,∴CE= BD,∵CE=4cm,∴BD=12(cm)
【解析】(1)根据C是AB的中点,D是AC的中点,E是BC的中点可得AC=BC= AB,AD=DC= AC,CE=BE= BC,DE=DC+CE。(2)由(1)知AD=DC=CE=BE,CE= BD,则BD=3CE。

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AB2AC2=2AD2+2BD2

小明尝试对它进行证明,部分过程如下:

解:过点AAEBC于点E,如图2,在Rt△ABE中,AB2AE2BE2

同理可得:AC2AE2CE2AD2AE2DE2

为证明的方便,不妨设BDCDxDEy

AB2AC2AE2BE2AE2CE2=……

(1)请你完成小明剩余的证明过程;

理解运用:

(2) ① 在△ABC中,点DBC的中点,AB=6,AC=4,BC=8,则AD=_______;

② 如图3,⊙O的半径为6,点A在圆内,且OA=2,点B和点C在⊙O上,且∠BAC=90°,点EF分别为AOBC的中点,则EF的长为________;

拓展延伸:

(3)小明解决上述问题后,联想到《能力训练》上的题目:如图4,已知⊙O的半径为5,以A(3,4)为直角顶点的△ABC的另两个顶点BC都在⊙O上,DBC的中点,求AD长的最大值.请你利用上面的方法和结论,求出AD长的最大值.

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