Question

7．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点F是BC的中点，点E是边AB上一点，且BE=2，连结DE，EF，并以DE，EF为边作?EFGD，连结BG，分别交EF和DC于点M，N，则$\frac{BM}{NG}$=$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 先判定四边形DEFG是正方形，进而得出∠EFG=90°，DG=DE=FG=$\sqrt{5}$，过B作BH⊥EF于H，根据勾股定理以及相似三角形的性质，求得EM的长，再根据∠EBM=∠DNG，∠EMB=∠DGN，即可判定△EBM∽△DNG，进而得到$\frac{BM}{NG}$=$\frac{EM}{DG}$=$\frac{6}{7}$．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点F是BC的中点，
∴BF=1，AD=2，
又∵BE=2，
∴AE=BF=1，DE=$\sqrt{5}$=FG，
又∵∠A=∠EBF=90°，
∴△ADE≌△BEF，
∴∠ADE=∠BEF，DE=EF，
又∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BEF+∠AED=90°，
∴∠DEF=90°，
∴四边形DEFG是正方形，
∴∠EFG=90°，DG=DE=$\sqrt{5}$，
如图，过B作BH⊥EF于H，
∵Rt△ABF中，EF=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BH=$\frac{BF×BE}{EF}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
∴Rt△BFH中，HF=$\sqrt{B{F}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵BH∥FG，
∴△BHM∽△GFM，
∴$\frac{HM}{FM}$=$\frac{BH}{GF}$=$\frac{\frac{2}{5}\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$，
∴FM=$\frac{5}{7}$×FH=$\frac{\sqrt{5}}{7}$，
∴EM=EF-FM=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{7}$=$\frac{6}{7}\sqrt{5}$，
∵EB∥DN，EM∥DG，
∴∠EBM=∠DNG，∠EMB=∠DGN，
∴△EBM∽△DNG，
∴$\frac{BM}{NG}$=$\frac{EM}{DG}$=$\frac{\frac{6}{7}\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{7}$．
故答案为：$\frac{6}{7}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质以及正方形的判定的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形和直角三角形，依据勾股定理以及相似三角形的对应边成比例进行计算求解．