Question

12．如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且$\frac{CP}{CD}$=$\frac{QE}{BD}$，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．
（1）求证：PC=PE；
（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的性质得到$\frac{QE}{BD}$=$\frac{AE}{AD}$，$\frac{PE}{CD}=\frac{AE}{AD}$，等量代换得到$\frac{PE}{CD}$=$\frac{QE}{BD}$，推出$\frac{CP}{CD}$=$\frac{PE}{CD}$，于是得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠PFC=∠FCG，根据角平分线的性质得到∠PCF=∠FCG，等量代换得到∠PFC=∠FCG，根据等腰三角形的性质得到PF=PC，得到PF=PE，由已知条件得到AP=CP，推出四边形AECF是平行四边形，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵PQ∥BC，
∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，
∴$\frac{QE}{BD}$=$\frac{AE}{AD}$，$\frac{PE}{CD}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{PE}{CD}$=$\frac{QE}{BD}$，
∵$\frac{CP}{CD}$=$\frac{QE}{BD}$，
∴$\frac{CP}{CD}$=$\frac{PE}{CD}$，
∴PC=PE；

（2）∵PF∥DG，
∴∠PFC=∠FCG，
∵CF平分∠PCG，
∴∠PCF=∠FCG，
∴∠PFC=∠FCG，
∴PF=PC，
∴PF=PE，
∵P是边AC的中点，
∴AP=CP，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵PQ∥CD，
∴∠PEC=∠DCE，
∴∠PCE=∠DCE，
∴∠PCE+∠PCF=$\frac{1}{2}$（∠PCD+∠PCG）=90°，
∴∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．