Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m经过点A（2，0），交y轴于点B．点D为x轴上一点，且S_△ADB=1．
（1）求m的值；
（2）求线段OD的长；
（3）当点E在直线AB上（点E与点B不重合），且∠BDO=∠EDA，求点E的坐标．

Answer 1

解：（1）∵直线y=-x+m经过点A（2，0），
∴0=-2+m，
∴m=2；

（2）∵直线y=-x+2交y轴于点B，
∴点B的坐标为（0，2），
∴OB=2，
∵S_△ADB=AD•OB=1，
∴AD=1，
∵点A的坐标为（2，0），
∴点D的坐标为（1，0）或（3，0），
∴OD=1或OD=3；

（3）①当点D的坐标为（1，0）时，如图所示，
取点B′（0，-2），连接B′D并延长，交直线BA于点E．
∵OB=OB′，AO⊥BB′于O，
∴OD为BB′的垂直平分线．
∴DB=DB′，
∴∠1=∠2．
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
设直线B′D的解析式为y=kx-2（k≠0），
∵直线B′D经过点D（1，0），
∴0=k-2，
∴k=2，
∴直线B′D的解析式为y=2x-2，
联立得，
解得，
∴点E的坐标为（，）；
②当点D的坐标为（3，0）时，如图所示，
取点B′（0，-2），连接B′D，交直线BA于点E，
同①的方法，可得∠1=∠2，直线B′D的解析式为y=x-2，
联立得，
解得，
∴点E的坐标为（，），
综上所述，点E的坐标为（，）或（，）．
分析：（1）把点A的坐标代入直线解析式进行计算即可求出m的值；
（2）根据三角形的面积求出AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况得到点D的坐标，再根据两点间的距离得到OD的长度；
（3）找出点B关于x轴的对称点B′，根据轴对称性作出∠BDO=∠EDA从而确定出点E的位置，再分点D的两种情况利用待定系数法求出直线B′D的解析式，然后联立直线AB的解析式，解方程组即可得到点E的坐标．
点评：本题考查了待定系数法求直线解析式，两点间的距离，三角形的面积，A、D在x轴上的位置不明确，所以要注意分点D在点A的左右两边两种情况讨论求解．