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【题目】如图,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(﹣3,﹣3).

(1)求正比例函数和反比例函数的表达式;

(2)把直线OA向上平移后与反比例函数的图象交于点B(﹣6,m),与x轴交于点C,求m的值和直线BC的表达式;

(3)在(2)的条件下,直线BCy轴交于点D,求以点A,B,D为顶点的三角形的面积;

(4)在(3)的条件下,点A,B,D在二次函数的图象上,试判断该二次函数在第三象限内的图象上是否存在一点E,使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足:S1=S?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1) ;(2) ,(3)(4)E的坐标是(﹣2,﹣).

【解析】

(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式;

(2)B(﹣6,m代入反比例函数解析式即可求出m的值,再根据直线平移的性质即可求直线BC的表达式

(3)作AMy轴于点M,作BNy轴于点N,根据S四边形ABDM=S梯形ABNM+SBDNSABD=S四边形ABDMSADM即可求解;

(4)设二次函数的解析式是y=ax2+bx+,然后利用待定系数法求得二次函数的解析式,根据S1=S即可求得S1的值,根据S1=SOCD+SOCE列方程求出y0的值,再由Ex0y0)在二次函数的图象上,即可求得x0的值,进而求得E的坐标.

解:(1)设正比例函数的解析式是y=kx,代入(﹣3,﹣3),得:﹣3k=﹣3,解得:k=1,

则正比例函数的解析式是:y=x;

设反比例函数的解析式是y=,把(﹣3,﹣3)代入解析式得:k1=9,

则反比例函数的解析式是:y=

(2)m==﹣,则点B的坐标是(﹣6,﹣),

y=k3x+b的图象是由y=x平移得到,

k3=1,即y=x+b,

故一次函数的解析式是:y=x+

(3)y=x+的图象交y轴于点D,

D的坐标是(0,),

AMy轴于点M,作BNy轴于点N.

A的坐标是(﹣3,﹣3),B的坐标是(6,﹣),

M的坐标是(0,﹣3),N的坐标是(0,﹣).

OM=3,ON=

MD=3+=,DN=+=6,MN=3﹣=

SADM=×3×=,SBDN=×6×6=18,S梯形ABNM=×(3+6)×=

S四边形ABDM=S梯形ABNM+SBDN=+18=

SABD=S四边形ABDM﹣SADM==

(4)设二次函数的解析式是y=ax2+bx+

解得:

则这个二次函数的解析式是:y=x2+4x+

C的坐标是(﹣,0).

S=×6﹣×6×6﹣×3××3×=45﹣18﹣=

假设存在点E(x0,y0),使S1=S=×=

∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴的下方,

y00,

S1=SOCD+SOCE=×××y0=y0

y0=

y0=﹣

E(x0,y0)在二次函数的图象上,

x02+4x0+=﹣

解得:x0=﹣2或﹣6.

x0=﹣6时,点E(﹣6,﹣)与点B重合,这时CDOE不是四边形,故x0=﹣6(舍去).

E的坐标是(﹣2,﹣).

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