Question

如图①所示，在直角△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N，证明： （1）BD=CE；
（2）BD⊥CE；
（3）当△ABC绕A点沿顺时针方向旋转如图②、③、④位置时，上述结论是否成立？请选择其中的一个图加以说明。

             ①                                ②                       ③                       ④

Answer 1

证明：（1）∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
BA=CA，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE；
（2）∵∠CNM=∠BNA，
又∵∠ABN+∠BNA=90°，
∴∠NCM+∠CNM=90°，
即BD⊥CE；
（3）选择其中一个图证明即可，
证明：图转到图（1）的位置时，∠EAC=∠BAD=90°，
在△EAC和△DAB中，
EA=DA，∠EAC=∠DAB，AC=AB，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=CE，∠CEA=∠ADB，
延长DB交CE于F，则∠EBF+∠BEF=∠ABD+∠ADB=90°，
∴BD⊥CE。