Question

7．从△ABC的顶点A引3条射线：∠BAC的角平分线AM，外角平分线AN，三角形ABC的外接圆⊙O的切线AT，分别与BC边交于点M，N，T，求证：MT=TN．

Answer 1

分析 作直径AD，连结CD，作BA的延长线AQ，如图，先证明∠MAN=90°，再利用圆周角定理和切线的性质证明∠2=∠D，而∠B=∠D，则∠2=∠B，于是可得到∠AMT=∠B+∠BAM=∠2+∠1=∠MAT，所以TA=TM，然后利用等角的余角相等得到∠3=∠N，则TA=TN，所以TM=TN．

解答 证明：作直径AD，连结CD，作BA的延长线AQ，如图，
∵AM为∠BAC的角平分线，AN为∠QAC的平分线，
∴∠BAM=∠1=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠NAC=$\frac{1}{2}$∠QAC，
∴∠1+∠NAC=$\frac{1}{2}$∠（BAC+∠QAC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
即∠MAN=90°，
∵AB为直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵AT为切线，
∴AD⊥AT，
∴∠DAT=90°，即∠2+∠CAD=90°，
∴∠2=∠D，
而∠B=∠D，
∴∠2=∠B，
∴∠AMT=∠B+∠BAM=∠2+∠1=∠MAT，
∴TA=TM，
∵∠3+∠MAT=90°，∠AMT+∠N=90°，
∴∠3=∠N，
∴TA=TN，
∴TM=TN．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．