Question

4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，∠DAB=60°，动点P从A点沿圆周逆时针运动一周（与C不重合）后停止，当△ABP的面积和△ABC面积相等时，求点P所经过的弧长．

Answer 1

分析 （1）欲证明DC为⊙O的切线，只要证明∠OCD=90°即可．
（2）分三种情形计算即可）①当∠AOP=60°时，△ABP的面积和△ABC面积相等，②当∠AOP=120°时，△ABP的面积和△ABC面积相等，③当∠AOP=300°时，△ABP的面积和△ABC面积相等．

解答 （1）证明：如图，连接OC．

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠OAD，
∴∠OAC=∠CAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠OCA+∠ACD=90°，
∴∠DCO=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．

（2）①当∠AOP=60°时，△ABP的面积和△ABC面积相等，
点P所经过的弧长=$\frac{60π•2}{180}$=$\frac{2π}{3}$．
②当∠AOP=120°时，△ABP的面积和△ABC面积相等，
点P所经过的弧长=$\frac{120π•2}{180}$=$\frac{4π}{3}$．
③当∠AOP=300°时，△ABP的面积和△ABC面积相等，
点P所经过的弧长=$\frac{300π•2}{180}$=$\frac{10π}{3}$．
综上所述，当△ABP的面积和△ABC面积相等时，求点P所经过的弧长为$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$或$\frac{10π}{3}$．

点评 本题考查切线的判定、角平分线的性质、弧长公式等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，注意本题一题多解，属于中考常考题型．