Question

15．如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=6cm，BC=8cm，求折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形与折叠的性质，易证得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，则可证得四边形AFCE是平行四边形，又由AC⊥EF，则可证得四边形AFCE是菱形；
（2）先根据勾股定理求出AC的长，由菱形的性质可得出OA的长，再设BF=x，则AF=8-x，根据勾股定理求出OF的长，进而可得出结论．

解答 （1）证明：四边形AFCE的形状是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF，
∵在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；

（2）解：∵AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10cm．
∵四边形AFCE是菱形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=5cm．
设BF=xcm，则AF=（8-x）cm，
∵AB²+BF²=AF²，
∴6²+x²=（8-x）²，解得x=$\frac{7}{4}$cm，
∴AF=8-x=8-$\frac{7}{4}$=$\frac{25}{4}$cm，
∴OF=$\sqrt{A{F}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{4}）^{2}-{5}^{2}}$=$\frac{15}{4}$cm，
∴EF=2OF=$\frac{15}{2}$cm．

点评 本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．