Question

7．如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE=CD，CF=CB，连接DB，BE，EF，FD．
（1）如图1，求证：四边形DBEF是矩形；
（2）如图2，当∠DFB=30°时，连接AE交BF于点G，连接DG，若AB=2，求DG的值．

Answer 1

分析 （1）由CE=CD，CF=CB，可证得四边形DBEF是平行四边形，又由菱形ABCD中，CB=CD，可证得DE=BF，即可得四边形DBEF是矩形；
（2）易证得△ABG≌△ECG，△BCD是等边三角形，则可得BG=CG，然后由三线合一的知识，证得DG是BC的垂直平分线，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵CE=CD，CF=CB，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴DE=BF，
∴四边形DBEF是矩形；

（2）∵四边形DBEF是矩形，
∴∠BDF=90°，
∵∠DFB=30°，
∴∠DBF=60°，
∵AB∥CE，
∴∠ABG=∠ECG，
∵CD=CB=CE=AB=2，
∴△ABG≌△ECG，
∴BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴DG⊥BC，DC=DB，
∴DG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了矩形的性质与判定、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意证得△ABG≌△ECG，△BCD是等边三角形是关键．