Question

17．如图1，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，AD=AE．
（1）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则DB与CE有何数量关系，请给予证明．
（2）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

Answer 1

分析 （1）由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，根据全等三角形的判定和性质监控得到结论；
（2）根据旋转的性质得到CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，求得∠CEP=∠CPE=45°，由勾股定理可得到PE=2$\sqrt{2}$，根据勾股定理的逆定理得到△PEA是直角三角形，求得∠PEA=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）DB=CE．
理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
得$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE；

（2）如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2$\sqrt{2}$，
在△PEA中，PE²=（2$\sqrt{2}$）²=8，AE²=1²=1，PA²=3²=9，
∵PE²+AE²=AP²，
∴△PEA是直角三角形，
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA，
∴∠BPC=∠CEA=135°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．