Question

20．如图，在△ABC中，AE=EC，AD平分∠BAC，AD和CE是△ABC的高，且AD和CE相交于点H．
（1）求证：△AEH≌△CEB；
（2）AH=6，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）要证明△AEH≌△CEB，由题意可得，AE=EC，由AD和CE是△ABC的高，可得∠AEH=∠CEB，然后再证明∠EAH=∠ECB即可；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得BD的长．

解答 （1）证明：∵AD和CE是△ABC的高，
∴∠AEH=∠CEB=90°，
∴∠EAH+∠EHA=90°，∠DHC+∠DCH=90°，
∵∠EHA=∠DHC，
∴∠EAH=∠ECB，
∵AE=CE，
∴△AEH≌△CEB（ASA）；
（2）∵△AEH≌△CEB，
∴AH=BC，
∵AH=6，
∴BC=6，
∵AD平分∠BAC，AD是△ABC的高，
∴AD是△ABC上的中线，
∴BD=CD，
∴BD=$\frac{1}{2}BC$=3．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．