Question

11．已知△ADE中，∠DAE=90°，AD=AE，点B为△ADE内一点，连接AB，将AB绕点A顺时针旋转90°到AC，连接BE、CD．
（1）试说明△ABE≌△ACD；
（2）若BE=1，AB=2，BD=3，试求∠ACD的度数；
（3）在（2）的基础上，求四边形ABDC的面积（结果保留1位小数）．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得到∠AB=AC，∠CAB=∠DAE=90°，根据角的和差得到∠BAE=∠CAD，于是得到结论；
（2）连接BC，得到△ABC为等腰直角三角形，求得∠ACB=45°，BC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，根据全等三角形的性质得到CD=BE=1，根据勾股定理的逆定理得到∠BCD=90°，于是得到结论；
（3）四边形ABDC的面积=S_△ABC+S_△CBD，代入数据监控得到结论．

解答 解：（1）∵将AB绕点A顺时针旋转90°到AC，
∴∠AB=AC，∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△DAC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠BAE=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD；

（2）连接BC，
∵BA=CA=2，∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，BC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵△ABE≌△ACD，
∴CD=BE=1，
∵BD=3，
∵BD²=BC²+CD²，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=135°；

（3）四边形ABDC的面积=S_△ABC+S_△CBD=$\frac{1}{2}×$2²+$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{2}$×1=$\sqrt{2}$+2=3.4．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．