Question

【题目】课堂上，数学老师提出了如下问题：

如图1，若线段AD为△ABC的角平分线，请问一定成立吗？

小明和小芳分别作了如下探究：

小明发现：如图2，当△ABC为直角三角形时，且∠C=90°，∠CAB=60°时，结论成立；

小芳发现：如图3，当△ABC为任意三角形时，过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E，利用此图可以证明成立．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）设CD的长为a，Rt△CAB中，由角平分线的定义，可得∠B= 30°，由正切定义可得AC、AB、CB以及DB的长，即可得证；

（2）由两直线平行，内错角相等可得∠E=∠EAB，∠B=∠ECB，即可证明△CED∽△BAD，由相似三角形的性质得出，由等角对等边得出CE=CA，即可得证.

试题解析：（1）设CD的长为a，

Rt△CAB中，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，

∴∠B=∠CAD=∠DAB= 30°，

∴DB=BC-CD=3a-a=2a

∴

（2）∵CE∥AB，

∴∠E=∠EAB，∠B=∠ECB，

∴△CED∽△BAD，

∴，

∵∠E=∠EAB，∠EAB=∠CAD，

∴∠E=∠CAD

∴CE=CA

∴，