Question

6．如图，△ABC中，AB=6，BC=8，AC=4，点D、E分别在边AB、AC上，DE的延长线与BC的延长线相交于点F，且$\frac{AD}{AE}$=$\frac{2}{3}$．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）写出线段DE长的取值范围；
（3）若DE=4，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$即可解决问题；
（2）当AE=AC时，DE的长最大，求出DE的最大值即可解决问题；
（3）由△ADE∽△ACB，可得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，推出AD=2，AE=3，EC=1，由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$，可得AH=$\frac{4}{3}$，DH=$\frac{8}{3}$，推出HE=AE-AH=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，由DH∥CF，推出$\frac{DH}{CF}$=$\frac{HE}{EC}$，
可得CF；

解答 （1）证明：AD：AE=2：3，AB=4，AC=4，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．

（2）当AE=AC=4时，∵△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{CB}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{DE}{8}$=$\frac{4}{6}$，
∴DE=$\frac{16}{3}$，
∴0＜DE≤$\frac{16}{3}$．

（3）作DH∥BC交AC于H．
∵△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{AD}{4}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{AE}{6}$，
∴AD=2，AE=3，EC=1，
则有$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$，
∴$\frac{2}{6}$=$\frac{AH}{4}$=$\frac{DH}{8}$，
∴AH=$\frac{4}{3}$，DH=$\frac{8}{3}$，
∴HE=AE-AH=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∵DH∥CF，
∴$\frac{DH}{CF}$=$\frac{HE}{EC}$，
∴$\frac{\frac{8}{3}}{CF}$=$\frac{\frac{5}{3}}{1}$，
∴CF=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题没学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．